Cho tới mùa thu năm 2002, Perelman được biết đến nhiều nhất vì công trình của ông trong các định lý so sánh trong hình học Riemann. Trong số các thành tựu nổi tiếng của ông có một chứng minh ngắn và tao nhã cho giả thuyết Soul.[6]

Vấn đề

Giả thuyết Poincaré, do nhà toán học người Pháp Henri Poincaré đề xuất năm 1904, là vấn đề bỏ ngỏ nổi tiếng nhất trong tô pô. Bất kỳ đường vòng trên một mặt cầu trong ba chiều có thể co lại thành một điểm; giả thuyết Poincaré phỏng đoán rằng một đa tạp ba chiều đóng bất kỳ nơi bất kỳ đường vòng nào có thể co lại thành một điểm, thực sự chỉ là một mặt cầu ba chiều. Kết quả tương tự đã được biết là đúng trong các chiều bậc cao, nhưng trường hợp của đa tạp-ba hóa ra là khó nhằn hơn tất cả. Nói vắn tắt, điều này là do trong thao tác tô pô của đa tạp-ba, có quá ít chiều để tránh các "khu vực có vấn đề" mà không can thiệp với một cái gì đó khác.

Năm 1999, Viện Toán học Clay đã thông báo Các vấn đề giải Thiên niên kỷ – giải thưởng trị giá 1 triệu đôla Mỹ cho lời chứng minh cho vài giả thuyết, bao gồm cả giả thuyết Poincaré. Có sự đồng thuận chung rằng lời chứng minh thành công sẽ tạo nên một sự kiện bước ngoặt trong lịch sử toán học.

Chứng minh của Perelman

Tháng 11 năm 2002, Perelman đã đăng ấn bản đầu tiên của loạt ấn bản điện tử trên arXiv, trong đó ông tuyên bố đã phác thảo một chứng minh cho một giả thuyết hình học hóa, trong đó giả thuyết Poincaré là một trường hợp cụ thể.

Perelman đã biến đổi chương trình của Richard Hamilton để có chứng minh cho giả thuyết, trong đó ý tưởng trung tâm là khái niệm luồng Ricci. Ý tưởng cơ bản của Hamilton là phát biểu thành công thức một "quá trình động học" trong đó một đa tạp-ba đã cho bị biến dạng về mặt hình học, chẳng hạn quá trình biến dạng này bị chi phối bởi một phương trình vi phân tương tự như phương trình nhiệt. Phương trình nhiệt miêu tả trạng thái của các đại lượng vô hướng như nhiệt độ; nó đảm bảo rằng các tập trung của nhiệt độ nâng cao sẽ lan tỏa cho tới khi một nhiệt độ đồng nhất đạt được trong khắp vật thể. Tương tự, luồng Ricci miêu tả trạng thái của một đại lượng tensor là tensor độ cong Ricci. Hy vọng của Hamilton là rằng dưới luồng Ricci, các tập trung của độ cong lớn sẽ lan tỏa cho đến khi một độ cong đồng nhất đạt được trên toàn bộ đa tạp ba chiều. Nếu như vậy, nếu người ta bắt đầu với đa tạp ba chiều bất kỳ và cho phép luồng Ricci xảy ra, cuối cùng người ta về nguyên tắc có thể thu được một loại "hình dạng thông thường". Theo William Thurston, hình dạng thông thường này phải chiếm một trong một lượng nhỏ các khả năng, mỗi khả năng có một loại hình học khác biệt, gọi là hình học mô hình Thurston.

Điều này là tương tự như phát biểu thành công thức một quá trình động học mà nó "nhiễu loạn" dần dần một ma trận vuông đã cho, và nó đảm bảo đưa đến kết quả sau một thời gian hữu hạn là hình dạng kinh điển hữu tỷ của nó.

Ý tưởng của Hamilton đã thu hút một lượng lớn sự quan tâm, nhưng không ai có thể chứng minh rằng quá trình sẽ không bị cản trở bởi sự phát triển của các "điểm kỳ dị", cho tới khi ấn bản điện tử của Perelman phác họa một chương trình để vượt qua các rào cản này. Theo Perelman, một sửa đổi của luồng Ricci chuẩn, gọi là luồng Ricci với phẫu thuật, có thể cắt xén có hệ thống các khu vực kỳ dị khi chúng phát triển, theo một cách có kiểm soát.

Người ta biết rằng các điểm kỳ dị (bao gồm các điểm mà nói khái quát là xảy ra sau khi luồng đã tiếp tục trong một lượng thời gian hữu hạn) phải xảy ra trong nhiều trường hợp. Tuy nhiên, bất kỳ điểm kỳ dị nào phát triển trong một lượng thời gian hữu hạn về bản chất là một "sự bó chặt" dọc theo các mặt cầu nào đó tương ứng với phân hủy bậc nhất của đa tạp-3. Ngoài ra, các điểm kỳ dị "thời gian hữu hạn" bất kỳ tạo ra từ các mảnh sụp đổ nào đó của phân hủy JSJ. Công trình của Perelman chứng minh tuyên bố này và vì vậy chứng minh giả thuyết hình học hóa.

Kiểm tra

Kể từ năm 2003, chương trình của Perelman đã thu hút sự quan tâm ngày càng tăng từ cộng đồng toán học. Tháng 4 năm 2003, ông chấp nhận lời mời tới thăm Viện Công nghệ Massachusetts, Đại học Princeton, Đại học Tiểu bang New York tại Stony Brook, Đại học Columbia và Đại học New York, tại đó ông đã nói chuyện về công trình của mình.[4]

Ba nhóm học giả độc lập đã kiểm tra rằng các bài báo của Perelman chứa mọi điều thiết yếu để chứng minh trọn vẹn giả thuyết hình học hóa:

1. Ngày 25 tháng 5 năm 2006, Bruce Kleiner và John Lott, cả hai đều từ Đại học Michigan, đã đăng một bài báo trên arXiv ghi đầy đủ chi tiết cho chứng minh của Perelman cho giả thuyết hình học hóa.[7] Như John Lott phát biểu tại ICM2006, "Chúng tôi phải mất một lượng thời gian để xem xét công trình của Perelman. Điều này một phần là do tính nguyên bản của công trình của Perelman và một phần là do sự phức tạp kỹ thuật trong các luận cứ của ông. Mọi biểu lộ là các luận cứ của ông là chính xác."
2. Tháng 6 năm 2006, tạp chí Asian Journal of Mathematics công bố một bài báo của Chu Hi Bình (Xi-Ping Zhu, 朱熹平) từ Đại học Trung Sơn ở Quảng Châu, Trung Quốc và Tào Hoài Đông (Huai-Dong Cao, 曹怀东) từ Đại học Lehigh ở Pennsylvania, đưa ra miêu tả trọn vẹn chứng minh của Perelman cho các giả thuyết Poincaré và hình học hóa.[8]
3. Tháng 7 năm 2006, John Morgan từ Đại học Columbia và Điền Cương (Gang Tian, 田刚) từ MIT đã đăng một bài báo trên arXiv có tiêu đề "Ricci Flow and the Poincaré Conjecture" (Luồng Ricci và giả thuyết Poincaré). Trong bài báo này, họ đưa ra một phiên bản chi tiết của chứng minh của Perelman cho giả thuyết Poincaré.[9] Ngày 24 tháng 8 năm 2006, Morgan đã diễn thuyết tại ICM ở Madrid về giả thuyết Poincaré.[10] Điều này được nối tiếp bằng bài báo trên arXiv có tiêu đề "Completion of the Proof of the Geometrization Conjecture" (Sự hoàn thiện của chứng minh cho giả thuyết hình học hóa) ngày 24 tháng 9 năm 2008.[11]

Một kiểm tra tách biệt cũng được Richard Hamilton cùng Gerhard Huisken và Tom Ilmanen thực hiện. Phát biểu tại phiên họp toàn thể đầu tiên ở ICM2006, ông đã nói "Tôi vô cùng biết ơn Grisha vì đã thực hiện điều này".

Nigel Hitchin, giáo sư toán tại Đại học Oxford, đã nói rằng "Tôi suy nghĩ trong nhiều tháng hoặc thậm chí nhiều năm rằng bây giờ người ta đã nói rằng họ đã được các luận cứ thuyết phục. Tôi nghĩ đó là một nhiệm vụ đã hoàn thành."[12]